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指数函数

[日期:2015-10-26] 来源:  作者:蒋亚娟 [字体: ]

指数函数

教学目标:

1、理解指数函数的定义,会画指数函数示意图,熟练掌握指数函数性质,并会用指数函数的性质解决一些数学问题;

2、通过观察函数图像,总结归纳出指数函数的性质,认识到指数函数是最基本的初等函数;

3、提高分析观察能力与总结归纳能力,体验数形结合、分类讨论思想的运用,体会数学的应用价值;

 

教学重点

观察图像,归纳指数函数性质;

 

教学难点:

运用指数函数的性质解决数学问题;

 

教学内容:

一、概念引入

1、某种细胞分裂时,有一个分裂成两个,两个分裂成四个,一个这样的细胞分裂次后,得到的细胞个数与的关系式是什么?

2、某种放射性物质不断变化为其它物质,每经过一年剩余的这种物质是原来的50%,经过年后,这种物质的剩余量与的关系式是什么?

解:1、;

2、;

问:这两个函数解析式有什么共同的特点?

答:自变量是指数,底数为常数;

总结:将“”变成“”,那么形如这样的函数我们叫做指数函数;

 

二、给出定义

一般地,形如的函数叫做指数函数,其中.

1、的值为什么是?

答:① 若,则,没有研究的必要;

② 若,当2时,函数没有意义;当时,,没有研究必要;

③ 若,定义域不能取遍,例如,…...

2、指数函数的结构特征:

① 系数为1;

② 底数是大于0且不等于1的常数;

③ 指数就是自变量;

 

3、下列函数是指数函数的是:(1)(5)(8)(10)

(1)、;(2)、;(3)、;(4)、;(5)、;

(6)、;(7)、;(8)、;(9)、;

(10)、;

 

三、性质

问:研究一个函数的性质要考虑哪些方面?

答:定义域,值域,单调性,奇偶性,定点,对称轴………

1、画出函数的图像,将所得到的函数图像的性质写在所画图像的下面;

 

 
 

用几何画板向学生展示画图过程,列表,描点,连线,并让学生观察这两个函数图像,引导学生得到表格中所有的性质。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

定义域

 

值域

(0,)

单调性

单调递减

单调递增

奇偶性

非奇非偶

定点

(0,1)

渐近线

 

 

2、规律

① 观察这两个函数图像,整体有什么样的特征?

答:关于轴对称,同时可以看出,2与互为倒数;

② 底数互为倒数的两个指数函数是否都关于轴对称?

 

①    由学生直接答;

在问出②后,用几何画板向学生展示另外两组函数图像,如左图所示,接着由学生回答,并给出代数证明,同时为③做铺垫;

 

答:关于轴对称,即关于轴对称;

证明:

 

 

 

 

 

问③结束后,用几何画板向学生展示变化时,指数函数图像变化,直观地反映了底大图高、底大图低现象,同时可得与时指数函数的性质,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

③ 观察图像,当时,发现什么?当时,发现什么?

答:当时,相同,底数越大,函数值越大,底大图高;

当时,相同,底数越小,函数值越小,底大图低;

3、总结

总结的函数图像的性质;

 

   

定义域

 

值域

(0,)

单调性

单调递减

单调递增

奇偶性

非奇非偶

定点

(0,1)

渐近线

 

 

四、练习

1、函数横过定点________

答:(3,4)

 

2、函数在上为减函数,则的取值范围是________

  答:

 

3、比较大小

①    ;

答:<

 

总结比较大小的规律:

1、  画图利用单调性;

2、  插值;

3、  化同底或同指

注:不同低不同指的分数指数幂比较大小,先比较与1的大小,再化成同底或同底进行比较;

 

②     ;

答:<

③     ;

答:>

④    

答:<

⑤        

答:<<

⑥        

答:<<

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